Начнем с того, что какая не была бы игра, ей необходимо где-то сохранять игровой процесс, а поскольку игра в данном случае является «онлайн», то самым очевидным решением будет сохранение в базе данных на сайте. Но сохранять свои данные на сайте социальной сети, не возможно, поскольку это собственность авторов социальной сети, поэтому у каждой такой игры есть своя база данных находящаяся, как правило, на сайте разработчика игры.

Идентификатор (или id АйДи) пользователя – Это как «логин», а auth_key – это как бы «пароль» на игровом сервере для получения доступа к сохранениям ваших игровых данных. Отступление – идентификатором пользователя являются только цифры.
При загрузке игры эти данные передаются ей самой соц.сетью. Помните что сам auth_key является строго индивидуальным для каждого пользователя для каждого приложения. Не говорите его никому, в противном случае обладая вашим auth_key можно получить доступ к вашим сохранениям соответствующей игры.

Что бы узнать ваш auth_key, вам нужно загрузить игру и посмотреть в исходный HTML код страницы. В разных браузерах это делается по-разному. Обычно для этого нужно щелкнуть правой кнопкой мыши в любом месте страницы (кроме игрового поля) и в контекстном меню выбрать «показать исходный код» или «показать HTML код», или что-то с похожим названием. 

В открывшемся окне с кучей текста надо найти строку с надписью «auth_key», и после этой надписи вы увидите буквенно-циферное значение состоящая из 32-х знаков – это и есть ваш auth_key. Что бы было проще найти текст можно использовать поиск нажав ctrl+f и ввести в слово для поиска – auth_key.

Ваш идентификатор пользователя (АйДи, id) можно узнать зайдя в соц.сети в настройки профиля «Мои настройки» во вкладке «Общее» в блоке «адрес вашей страницы» в поле «Номер страницы:»